Gleichungssysteme | AG2.5

Vitamin C erfüllt viele wichtige Aufgaben im menschlichen Körper.

Ein Getränkehersteller möchte Fruchtsaft so in Flaschen abfüllen, dass jede Flasche 100mg Vitamin C enthält.
Es stehen zur Verfügung:

• Birnensaft mit 20mg Vitamin C pro 100ml
• Orangensaft mit 35mg Vitamin C pro 100ml
• Mischungen aus diesen beiden Säften

Die zur Verfügung stehenden Fruchtsäfte werden so gemischt, dass 350ml Saft genau 100mg Vitamin C enthalten.

Ermitteln Sie, wie viele Milliliter Birnensaft mit wie vielen Millilitern Orangensaft dafür gemischt werden müssen.

Für einen Maturaball werden Karten im Vorverkauf und an der Abendkassa angeboten. Im

Vorverkauf kostet jede Karte €20. An der Abendkassa kostet jede Karte um 10% mehr.

Insgesamt wurden 640 Karten um einen Gesamtpreis von €13240 verkauft.

Es werden folgende Bezeichnungen gewählt:

 \(x\)…Anzahl der im Vorverkauf verkauften Karten

 \(y\) … Anzahl der an der Abendkassa verkauften Karten

Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung von  \(x\) und  \(y\).

Tippen Sie dafür bei der Lösung keine Malpunkte in den Gleichungen ein – also schreiben Sie z. B. \(3x\) statt \(3*x\) oder \(3\cdot x\). Verzichten Sie außerdem auf Abstände zwischen Rechenzeichen und Zahlen bzw. Variablen.

Katharina und Georg arbeiten als Pflegekräfte in einem Heim. Sie bekommen das gleiche monatliche Grundgehalt. Im Februar lag in diesem Heim ein besonderer Arbeitsbedarf vor. Georg leistete \(14\) Überstunden, Katharina leistete \(46\) Überstunden. Ihr jeweiliges Gesamtentgelt setzt sich aus dem Grundgehalt und der Abgeltung für die geleisteten Überstunden zusammen. Jede Überstunde wird dabei gleich abgegolten. Das Gesamtentgelt von Georg betrug im Februar € 2.617, jenes von Katharina betrug €3.433.

Ermitteln Sie das Grundgehalt und die Abgeltung für eine Überstunde.

Für eine Schulsportwoche bucht eine Schule in einem Jugendgästehaus \(x\) Vierbettzimmer und \(y\) Sechsbettzimmer. Alle gebuchten Zimmer werden vollständig belegt.

Die Buchung kann durch das nachstehende Gleichungssystem beschrieben werden.

\(I: 4\cdot x+6\cdot y=56\)

\(II: x+y=12\)

Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5]

An einer Projektwoche nehmen insgesamt \(25\) Schüler/innen teil. Die Anzahl der Mädchen wird mit \(x\) bezeichnet, die Anzahl der Burschen mit \(y\). Die Mädchen werden in \(3\)-Bett-Zimmern untergebracht, die Burschen in \(4\)-Bett-Zimmern, insgesamt stehen \(7\) Zimmer zur Verfügung. Die Betten aller \(7\) Zimmer werden belegt, es bleiben keine leeren Betten übrig.

Mithilfe eines Gleichungssystems aus zwei der nachstehenden Gleichungen kann die Anzahl der Mädchen und die Anzahl der Burschen berechnet werden.

Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Gleichungen an!

Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem in den Variablen \(x_1\) und \(x_2\). Es gilt: \(a,b\in\mathbb{R}\).

\(I: 3\cdot x_1-4\cdot x_2=a\)

\(II: b\cdot x_1+x_2=a\)

Bestimmen Sie die Werte der Parameter \(a\) und \(b\) so, dass für die Lösungsmenge des Gleichungssystems \(L=\{(2,-2)\}\) ist.

Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen in den Variablen \(x,y\in\mathbb{R}\).

\(I: a\cdot x+y=-2\) mit \(a\in\mathbb{R}\)

\(II: 3\cdot x+b\cdot y=6\) mit \(b\in\mathbb{R}\)

Bestimmen Sie die Koeffizienten \(a\) und \(b\) so, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat!

Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen in den Variablen \(x,y\in\mathbb{R}\).

\(2x+3y=7\)

\(3x+by=c\) mit \(b,c\in\mathbb{R}\)

Ermitteln Sie diejenigen Werte für \(b\) und \(c\), für die das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat!

Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen in den Variablen \(x,y\in\mathbb{R}\).

\(x+4\cdot y=-8\)

\(a\cdot x+6\cdot y=c\) mit \(a,c\in\mathbb{R}\)

Ermitteln Sie diejenigen Werte für \(a\) und \(c\), für die das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat!

Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem über der Grundmenge \(G=\mathbb{N}\times\mathbb{N}\):

\(2x+y=6\)

\(3x-y=-3\)

Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems über der Grundmenge \(G\) an!

Ist die Lösungsmenge leer, so schreiben sie leer in die Lösungsmenge, ist ganz \(G\) die Lösungsmenge, schreiben Sie \(G\) und schreiben Sie sonst ihre entsprechende Lösung in Klammern \((x,y)\) in die Menge.